Mathematik Hilfe Vol 3

Calculating the derivative of functions with differentiated aid

Informationen zum Einsatz des Programms

Grundlegendes

Funktionsuntersuchungen auf Extrema, Wendestellen, Monotonieverhalten usw. bilden einen wichtigen Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Oberstufe. Die sichere Berechnung der Ableitung einer Funktion gehört dabei zu den wesentlichen Grundtechniken. In den Berechnungen besitzen die Ableitungsregeln (Summen- und Faktorregel, Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel) eine Schlüsselfunktion.

Das vorliegende Programm geht davon aus, dass die Ableitungen wichtiger Grundfunktionen bekannt sind:

(x^n)’ = n·x^(n-1) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = - sin x (exp x)’ = exp x

(ln x)’ = 1/x

Dabei bezeichnet wie üblich exp x = die Exponentialfunktion x --> e^x mit der eulerschen Zahl e = 2,71828... . Da die Regel (x^n)’ = n·x^(n-1) für beliebige reelle Zahlen gilt, erfasst sie insbesondere die Ableitung von Wurzel(x) = x^(1/2).

In den Übungen ist die Eingabe von Funktionsvorschriften an keine spezielle Form gebunden. Ob beispielsweise die Ableitung von x·exp (2x) in der Form 2x·exp (2x) + exp(2x) oder (1 + 2x)exp(2x) eingegeben wird, ist für die Prüfung irrelevant, es wird lediglich u. U. auf Vereinfachungsmöglichkeiten einer Berechnungsvorschrift aufmerksam gemacht. Multiplikationszeichen können dort, wo sie nach üblicher Konvention in der Mathematik weggelassen werden können, entfallen.

Entsprechendes gilt für Klammern: sin x = sin (x), aber natürlich ist sin (2x) nicht sin 2x.

Unerwünschte oder noch nicht bekannte Funktionen können in den Übungen auch weggeklickt werden.

Im Grunde ist das Programm dreiteilig:

In den Übungen 1 – 7 wird der sichere Umgang mit den jeweils angegebenen Ableitungsregeln geprüft.

Wenn dabei Schwierigkeiten auftreten, helfen die Diagnoseübungen 8 und 9. Sie sorgen durch Hilfen verbunden mit differenzierten Fehlermeldungen dafür, dass die Differentiationsregeln korrekt angewandt werden.

Übung 10 schließlich kontrolliert die korrekte Berechnung der Ableitung von frei eingegebenen Funktionsvorschriften.

Die Übungen bieten wichtige Lernhilfen, die durch die Buchliteratur nicht möglich sind. Die Aufgaben bilden nur einen kleinen aber wesentlichen Auszug aus dem Gesamtbereich der Schulmathematik. Wenn Sie an einem elektronischen Programmpaket für die gesamte Schulmathematik mit allen Aufgabentypen und allen Herleitungen interessiert sind, finden Sie dies mit den unterschiedlichen Lizenzformen (Einzellizenz, Schullizenz mit oder ohne Schülerkopierlizenz) unter www.KLSoft.de.

Natürlich geben wir auch gern auf genauere Rückfragen Auskunft. Das Programmpaket wird an einigen hundert Schulen genutzt.

Zu den einzelnen Übungen:

Übung 1 (Summen- und Faktorregel):

Die beiden Regeln lauten für differenzierbare Funktionen wie die oben genannten:

f(x) = g(x) + h(x) --> f’(x) = g’(x) + h’(x) f(x) = c·g(x) --> f’(x) = c·g’(x)

In der Faktorregel bezeichnet c eine konstante Zahl.

Beispiel: Für f(x) = x² + 3·sinx ergibt sich f’(x) = 2x + 3·cosx

Übung 2 (Produktregel):

Für differenzierbare Funktionen kann diese Regel in der Form

f(x) = g(x)·h(x) --> f’(x) = g’(x)·h(x) + g(x)·h’(x)

angegeben werden.

Beispiele:

f(x) = x²·sinx besitzt die Ableitung f’(x) = 2x·sinx + x²·cosx

f(x) = expx·sinx liefert f’(x) = expx·sinx + expx·cosx = expx·(sinx + cosx)

Übung 3 und 4 (Kettenregel):

Die wohl wichtigste Regel ist die Kettenregel, die sich in der folgenden Form notieren lässt:

Für f(x) = g(h(x)) lautet die Ableitung f’(x) = h’(x)·g’(y) mit y = h(x), kurz notiert f’(x) = h’(x)·g’(h(x))

Man bezeichnet g(y) als äußere und h(x) als innere Funktion der verkettenen Funktion f(x) = g(h(x)).

Beispiel:

Für f(x) = sin(x²) ist x-->h(x) = x² innere und y --> g(y) = siny äußere Funktion. Wegen h’(x) = 2x und g’(y) = cos y mit y = x² ergibt sich die Ableitung f’(x) = 2x · cos(x²).

Das Programm läuft derzeit nicht auf Intel-CPUs.

Sie können sich für einen Funktionstest unsere kostenlose Demoversion von KLSoft3D herunterladen.